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Kalendermotive

Zum Jahr der Mathematik 2008 hat sich GESAMTMETALL etwas Besonderes einfallen lassen. Die Arbeitgeberorganisation, die seit Jahren die Ausbildung in Mathematik und den Naturwissenschaften großzügig fördert, initiiert ein Projekt, das Kunst und Mathematik verbindet. Ein großer Jahreskalender präsentiert auf spielerische Art ein Dutzend bedeutsamer Themen aus der Mathematik.

Das Buch „Alles ist Zahl“ zweigt die zwölf Motive des gleichnamigen Kalenders. Die Bilder tragen Namen wie „Hardys Taxi“, „Pisa, Cambridge, Bern“, „Ein Spaziergang mit Herrn Euler“, „Girasole“ und „Mittelmeergeometrie“. Sie sind in ihrer Art höchst unterschiedlich, haben aber alle einen gemeinsamen Hintergrund, den man bei den Titeln nicht unbedingt vermutet: die Mathematik.

Die Verbindung von Kunst und Mathematik ermöglicht spannende Einsichten sowie Einblicke in eine Thematik, gegenüber der sich weite Teile unserer Gesellschaft meist sehr reserviert verhalten. Mathematische Theorien sowie Problemstellungen und deren Lösungen sprechen nicht nur den Intellekt an, sondern auch Gefühle und ästhetisches Empfinden, vergleichbar mit künstlerischen Aktivitäten. Mathematiker sind – wie Dichter, Maler und Komponisten – Schöpfer von Motiven, Strukturen und Mustern, die aufgrund ihrer Ästhetik Bestand haben und über Jahrhunderte präsent bleiben.



Hardys Taxi

“A mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns. If his patterns are more permanent than theirs, it is because they are made with ideas. ... The mathematician’s patterns, like the painter’s or poet’s, must be beautiful; the ideas, like the colours or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics. ...”

Diese Feststellung des „Taxi-Fahrers“ Godfrey Harold Hardy (1877 – 1947) passt auch als Leitmotiv für diesen Kalender. Zunächst eine prägnante Charakterisierung der Person Hardy: Ein brillanter, äußerst produktiver Mathematiker und - ein Exzentriker. Er kokettierte u.a. damit, dass er in seinem Leben nie etwas Nützliches gemacht habe. Was natürlich so überhaupt nicht stimmt.

Von seinen Zeitgenossen wird er als Schönling beschrieben. Er hasste es aber, sich selbst zu sehen. Daher gab es in seiner Wohnung keine Spiegel. Er rasierte sich zeitlebens „blind“. In Hotelzimmern verhängte er als erstes die Spiegel mit Handtüchern.

Hardys Arbeitsgebiet war die Zahlentheorie. Bereits als Kind zerlegte er in der Kirche die Liednummern in ihre Primfaktoren. Das Thema „Primzahlen“ beschäftigte ihn dann sein Leben lang, insbesondere interessierte er sich für die Verteilung dieser Zahlen innerhalb der natürlichen Zahlen. In diesem Zusammenhang befasste er sich intensiv mit der sog. Riemannschen Vermutung, die bis heute noch nicht bewiesen ist.

Zu den großen Verdiensten Hardys gehört auch, dass er den genialen indischen Mathematiker Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920), der nie eine formale mathematische Ausbildung erhalten hatte, nach Cambridge holte. ...

 

» Mehr zu diesem Thema erfahren Sie im Buch "Alles ist Zahl".

 






Pisa, Cambridge, Bern

Eine der wichtigsten Entdeckungen Galileo Galileis (1564 - 1642) sind die Fallgesetze. Durch präzise Experimente fand er heraus, dass die zurückgelegte Strecke eines fallenden Körpers proportional zum Quadrat der Fallzeit ist. Das bedeutet, dass ein Körper in der doppelten Zeit die vierfache Stecke fällt.

In endgültiger quantitativer Form wurde das Fallgesetz dann von Isaac Newton (1643 - 1727) formuliert: Die Strecke, die ein fallender Körper nach der Zeit t zurückgelegt hat, ist 1/2 gt2, wobei g die Fallbeschleunigung durch die Erdanziehung ist.

Das Fallgesetz ist eines der zahlreichen Beispiele, die zeigen, dass sich Vorgänge in der Natur mathematisch beschreiben lassen. Albert Einstein (1879 - 1955) konnte sich darüber wundern. Dies lässt jedenfalls das Zitat auf dem Kalenderblatt vermuten:

"Wie ist es möglich, dass die Mathematik, letztendlich doch ein Produkt des menschlichen Denkens, unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?"

Eine treffende Antwort auf diese Frage und damit den Grund für diese wunderbare Entsprechung nennt Galileo Galilei: „Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.“ So einfach kann eine Erklärung sein! ...

 

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Ein Spaziergang mit Herrn Euler

Nur selten kann man die Entstehung einer Wissenschaftsdisziplin so genau datieren wie bei der Graphentheorie. Im Jahre 1736 wurde dem Mathematiker Leonhard Euler (1707 - 1783), der damals am Hof von St. Petersburg beschäftigt war, folgendes Problem gestellt.

Durch die Stadt Königsberg fließt ein Fluss, die Pregel. Diese teilt sich an einer Stelle und umfließt zwei Inseln. Diese sind untereinander und mit den Ufern durch Brücken verbunden. Von jedem Ufer führen jeweils zwei Brücken zur linken Insel, jeweils eine zur rechten; außerdem sind die beiden Inseln miteinander durch eine Brücke verbunden.

 

Die Frage war:

Ist es möglich, einen Spaziergang so zu organisieren, dass man dabei jede Brücke genau einmal überquert?

 

Offenbar ist das Problem so schwierig, dass man glaubte, einen der berühmtesten Mathematiker damit beschäftigen zu können. Das ist einsichtig; denn man kann hier beliebig lang probieren, verliert den Überblick und weiß letztlich nicht, was man schon überprüft hat und was nicht. Die Mathematik hilft hier, da sie alle diese unübersehbar vielen Fälle auf einen Schlag lösen kann. ...

 

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Zeichen und Zahlen

Berühmt ist Thomas Manns (1875 - 1955) Beschwörung der mathematischen Sprache in seinem Roman Königliche Hoheit:

"Was er sah, war sinnverwirrend. In einer krausen, kindlich dick aufgetragenen Schrift bedeckte ein phantastischer Hokuspokus, ein Hexensabbat verschränkter Runen die Seiten. Griechische Schriftzeichen waren mit lateinischen und mit Ziffern in verschiedener Höhe verkoppelt, mit Kreuzen und Strichen durchsetzt, ober- und unterhalb waagrechter Linien bruchartig aufgereiht, durch andere Linien zeltartig überdacht, durch Doppelstrichelchen gleichgewertet, durch runde Klammern zu großen Formelmassen vereinigt. Einzelne Buchstaben, wie Schildwachen vorgeschoben, waren rechts oberhalb der umklammerten Gruppen ausgesetzt. Kabbalistische Male, vollständig unverständlich dem Laiensinn, umfassten mit ihren Armen Buchstaben und Zahlen, während Zahlenbrüche ihnen voranstanden und Zahlen und Buchstaben ihnen zu Häupten und Füßen schwebten. Sonderbare Silben, Abkürzungen geheimnisvoller Worte, waren überall eingestreut, und zwischen den nekromantischen Kolonnen standen geschriebene Sätze und Bemerkungen in täglicher Sprache, deren Sinn gleichwohl so hoch über allen menschlichen Dingen war, dass man sie lesen konnte, ohne mehr davon zu verstehen als von einem Zaubergemurmel."

Die Haltung, die sich in diesem Text ausdrückt, ist einerseits geprägt von einer Bewunderung, die sich durch exakte Beschreibung eben diese Mathematik auch vom Leibe halten möchte, und einem Unverständnis der mathematischen Inhalte, das sich dennoch von ihrer zeichenhaften Darstellung magisch angezogen fühlt.

In der Tat hat die mathematische Sprache zwei Seiten. Zum einen ist sie eine der größten Kulturleistungen der Menschheit. Sie ist ein Präzisionsinstrument, mit dem man noch die feinsten Verästelungen menschlichen Denkens erfassen kann. Zum anderen ist sie aber auch ein zumindest Achtung gebietendes, für viele Menschen aber auch furchterregendes Konstrukt, dessen abstoßende Wirkung oft größer als ihre Anziehungskraft ist. ...

 

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Girasole

Mit seinem Weltbestseller „The Da Vinci Code“ (deutscher Titel: Sakrileg) steigerte der Amerikaner Dan Brown den Bekanntheitsgrad einer außergewöhnlichen Zahlenfolge. An mehreren Stellen des spannenden Romans taucht die zunächst geheimnisvolle Zahlenkombination

3 – 3 – 2 – 21 – 1 – 1- 8 – 5

auf. Mathematikinteressierte erkennen sofort, dass es sich hierbei um den Anfang einer berühmten Zahlenfolge handelt. Wir müssen lediglich die einzelnen Elemente der Größe nach ordnen:

1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21.

Bei genauem Betrachten der einzelnen Elemente entdeckt man ein Muster, nach dem die Zahlenfolge gebildet wird. Wir erhalten ein neues Element der Folge, indem wir die zwei unmittelbar vorhergehenden Elemente addieren. Also 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5 usw. Im „Da Vinci Code“ bricht die Folge mit 21 ab, natürlich geht sie noch weiter. Das nächste Element ist die Zahl 34 (= 13 + 21). Auf Grund der Erzeugungsweise spricht man hier von einer rekursiv definierten Zahlenfolge (lateinisch: recursare = zurückkehren).

Dan Brown hat in seinen Roman eine der interessantesten und reichhaltigsten Zahlenfolgen eingebaut, die es überhaupt gibt. In einer eigenen, seit 1963 regelmäßig viermal im Jahr erscheinenden Zeitschrift werden nur Artikel veröffentlicht, die inhaltlich mit dieser Folge in Verbindung stehen. Die Herausgeber nennen als Zielsetzung ihrer Zeitschrift: “The Fibonacci Quarterly is meant to serve as a focal point for interest in Fibonacci numbers and related questions, especially with respect to new results, research proposals, challenging problems, and innovative proofs of old ideas.” ...

 

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Unendlich

„Das Unendliche ist ein Quadrat ohne Ecken.“

(Chinesische Spruchweisheit)

 

Wie entsteht die dem Kalenderblatt zugrunde liegende Struktur?

Wir beginnen mit einem Quadrat, dessen Ecken so abgeschnitten werden, dass die Seiten jeweils halbiert werden. Es entsteht ein neues Quadrat, das flächenmäßig um die Hälfte kleiner ist als das Ausgangsquadrat und das um 90° gedreht ist. Diesen Vorgang kann man beliebig oft wiederholen, nicht in der zeichnerischen bzw. künstlerischen Umsetzung, aber in Gedanken. Erst mit dieser Vorstellung lässt sich der Sinn der chinesischen Spruchweisheit vollständig erfassen.

Nicht nur das Muster des Bildes, auch die Farbe Blau symbolisiert das Thema Unendlich. Himmel und Meer sind ebenso blau wie scheinbar unendlich. Vielleicht steht aus diesem Grund diese Farbe auch für Melancholie. Dennoch verbinden viele Menschen mit Blau überwiegend positive Assoziationen: Harmonie, Freundschaft, Vertrauen, Zuverlässigkeit. Blau ist angeblich die beliebteste Farbe der Deutschen, und zwar unabhängig vom Geschlecht. Das Sehnsuchtsgefühl in der Epoche der Romantik bedient sich ebenfalls dieser Farbe bei der Suche nach der „blauen Blume“. ...

 

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3.14159...

π ist der sechzehnte Buchstabe des griechischen Alphabets und wird etwa seit 300 Jahren als Symbol für die Kreiszahl geschrieben (William Jones 1706). Für die allgemeine Akzeptanz dieser Bezeichnung hat insbesondere Leonhard Euler (1707 -1783) gesorgt, da er sie ab 1736 konsequent verwendete. „Kein anderes mathematisches Symbol hat wohl soviel Rätselraten, romantische Spekulation, falsche Vorstellungen und Interesse hervorgerufen wie die Zahl π“ lesen wir in David Blatners Buch π, Magie einer Zahl.

Die Kreiszahl definiert man als Verhältnis vom Umfang zum Durchmesser eines Kreises. π ist eine Zahl, deren Dezimaldarstellung weder abbricht noch eine Periode besitzt. Damit ist π keine rationale Zahl (Bruchzahl), man bezeichnet solche Zahlen als irrational.

Auf dem Kalenderblatt sehen wir die ersten 288 Stellen der Dezimaldarstellung. Etwas Zahlenmystik darf nicht fehlen. Wir betrachten die Hälfte aufgeführten Dezimalstellen, also die ersten 144. Deren Summe ergibt 666. Diese Zahl bezeichnet der Ulmer Rechenmeister Johannes Faulhaber (1580 – 1635) in seiner Schrift Miracula Arithmetica als heilige Zahl in der viel „Unerhörtes“ steckt. Bereits in der Bibel (Offenbarung des Johannes) wird vor dieser Zahl gewarnt, sie wird mit dem Teufel in Verbindung gebracht. Buchstaben bekommen Zahlen zugeordnet. Addieren sich die Zahlenwerte der Buchstaben eines Namens zur Zahl 666, dann handelt es sich um eine böse Person. Wieso weist man gerade der Zahl 666 eine besondere Bedeutung zu? Hier lassen sich nur Vermutungen anstellen. Die Zahlenmystik hatte im Mittelalter Hochkonjunktur. Damals waren die römischen Zahlzeichen gebräuchlich. Um 666 in der römischen Darstellung zu schreiben, braucht man nur die unterschiedlichen Zeichen nacheinander anführen: DCLXVI. ...

 

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Quadratur des Kreises

„Zu den kaum beachteten positiven Auswirkungen des Fernsehens gehört, dass die Menschen heute vor dem Bildschirm sitzen, statt Abhandlungen über die Quadratur des Kreises zu verfassen.“

(Underwood Dudley)

Neben der Dreiteilung eines beliebigen Winkels und der Konstruktion eines Würfels mit doppeltem Volumen eines gegebenen Würfels gehört die Quadratur des Kreises zu den sog. klassischen Problemen der Antike. Erst im 19. Jahrhundert gelang es, die Unmöglichkeit dieser Konstruktionsaufgaben zu zeigen. Dennoch lassen sich mathematikinteressierte Laien bis heute nicht davon abhalten, weiterhin vermeintliche Lösungen an Mathematikinstitute zu versenden. Glücklicherweise nimmt mittlerweile die Zahl dieser Abhandlungen stark ab, wie obiges Zitat andeutet.

Worum geht es bei dem Problem der Quadratur des Kreises? Zu einem vorgegebenen Kreis lassen sich ohne Schwierigkeiten Quadrate konstruieren, die einen größeren bzw. kleineren Flächeninhalt als der Kreis besitzen.

Jetzt sollen wir aber zu einem gegebenen Kreis ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt konstruieren. Dabei ist zu beachten, dass die Konstruktion gemäß der „Spielregeln“ nur mit Zirkel und Lineal in endlich vielen Schritten erfolgen darf. Die Verwendung dieser Zeichengeräte ist zudem eingeschränkt: Den Zirkel verwenden wir nur zum Zeichnen eines Kreises um einen gegebenen Mittelpunkt (also nicht als Stechzirkel zum Abtragen der Länge einer Strecke), das Lineal nur zum Zeichnen einer Geraden durch zwei gegebene Punkte (also ohne Maßeinheit). ...

 

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Mittelmeergeometrie

„Die Geometrie birgt zwei große Schätze: Der eine ist der Satz von Pythagoras, der andere ist die Teilung nach dem extremen und dem mittleren Verhältnis. Den ersteren können wir mit einem Scheffel Gold vergleichen, den zweiten dürfen wir ein kostbares Juwel nennen.“

(Johannes Kepler (1571 – 1630))

 

Das kostbare Juwel haben wir bereits im Zusammenhang mit den

Fibonacci-Zahlen auf dem Kalenderblatt „Unendlich“ kurz erwähnt. Jetzt greifen wir kräftig in die Schatztruhe der Geometrie und holen den Scheffel Gold heraus. Er bildet die Grundlage für die abwechslungsreiche Mittelmeermathematik.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse flächengleich der Summe der beiden

Quadrate über den Katheten.

 

D.h. es gilt: a2+b2=c2

 

Der Lehrsatz des Pythagoras wird den Klassikern der Wissenschaft zugeordnet. Wohl wegen seines ästhetischen Reizes haben sich mit ihm Mathematiker und Amateure zu allen Zeiten befasst. Daher gibt es eine große Zahl unterschiedlicher Beweise. Der amerikanische College-Professor Elisha Scott Loomis hat in seinem Buch The Pythagorean Proposition ca. 370 verschieden Beweise publiziert. Und das sind längst nicht alle, die es gibt. Der Lehrsatz ist ein Beispiel wirklich substanzieller Mathematik innerhalb des Schulstoffs. Worin liegt dies begründet?

Im Unterschied zu vielen anderen Inhalten der Elementargeometrie (z. B. Schnitteigenschaft der Mittelsenkrechten im Dreieck) lässt sich die Aussage des Lehrsatzes nicht auf den ersten Blick aus der Figur entnehmen.

Somit kommt hier dem Beweis eine zweifache Bedeutung zu. Er dient zum einen der Erkenntnissicherung, zum anderen ermöglicht er erst Einsicht in die Aussage selbst. Es wird also nicht nur verifiziert, was man an einer guten Zeichnung sofort ablesen kann. ...

 

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Geheimnisvolle Codes

Das Wort "Codes" hat viele Bedeutungen. Wir meinen damit eine Art und Weise, etwas eindeutig zu bezeichnen, wir sprechen aber auch von Geheimcodes. Die Codes, um die es hier geht, sind allerdings etwas anderes. Diese Codes schützen Daten davor, falsch gelesen zu werden. Mit anderen Worten: Wenn man einen solchen Code benutzt, bemerkt man, ob alles in Ordnung ist oder ob etwas nicht stimmt.

Die Anwendungen für solche "Fehler erkennenden Codes" sind zahlreich: Alle Kontonummern und alle Buchnummern sind so geschützt, auch die Nummern der Lokomotiven gehorchen einem Code. Allgegenwärtig sind die Strichcodes und die optischen Codes, etwa auf den Online-Tickets der Bahn.

Die Methode der Codierung ist grundsätzlich ganz einfach. Jeder Code wird durch ein "Muster" definiert; bei solchen Mustern kann man ganz leicht erkennen, ob es im Originalzustand ist oder ob es sich verändert hat. Ein banales Beispiel macht das klar: Stellen Sie sich eine Schokoladentafel vor. Es bedarf kaum eines Blickes, um zu erkennen, ob diese noch vollständig ist oder ob schon jemand daran geknabbert hat. Das liegt daran, dass die Stückchen in einem klaren Muster angeordnet sind. Stellen Sie sich nun ein Schälchen mit Schokolinsen vor. Um zu überprüfen, ob noch alle vorhanden sind, muss man mühsam abzählen. ...

 

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Quadrate, Rhomben, Würfel

Dieses Muster überzeugt auf den ersten Blick. Man erfasst es sofort. Und man weiß: Es stimmt. Alles passt zusammen. Der Künstler hat

keinen Fehler gemacht. Das Bild besticht durch seine Klarheit und seinen Reichtum. Es scheint einfach zu sein, aber es ist eine Quelle zahlreicher mathematischer Ströme.

Als erstes sehe ich ein dreidimensionales Bild. Ich erkenne Würfel, die mit einer Ecke auf mich weisen und mir drei Seiten (blau, rot, gelb) zeigen. Aber irgendwie bekommt man die Würfel nicht zu fassen. Wie viele Würfel sehen Sie in der untersten Reihe? Je nach dem: Entweder zwei, bei denen man auf eine rote Unterseite schaut oder drei, bei

denen man eine rote Oberseite sieht. Zählen Sie mal alle Würfel, die Sie sehen! Wie viele verschiedene Ergebnisse erhalten Sie? Das ist eine raffinierte optische Täuschung.

Wenn man das Bild nüchterner anschaut, um der Konstruktion auf die Spur zu kommen, dann erkennt man, dass es drei verschiedene Teile gibt. Die roten, die waagrecht liegen, sowie die gelben und blauen, die jeweils im gleichen Winkel schräg liegen. Wenn man von den Farben abstrahiert, haben alle Teile die gleiche Form. Alle Seiten eines Teils sind gleich lang; also handelt es sich um Rauten (auch Rhomben genannt).

Die „Würfel“, die wir zu sehen meinen, sind aus jeweils drei Rauten zusammengesetzt. Und wenn man den Umriss eines „Würfels“ betrachtet, erkennt man, dass dies ein Sechseck ist. Man kann sich das ganze Bild auch aus Sechsecken aufgebaut denken, von denen jedes aus je einer roten, einer gelben und einer blauen Raute besteht.

Es gibt Ecken des Musters, an denen sich drei Rauten jeweils mit ihrem großen Winkel treffen; also ist dieser Winkel 120° groß. An der anderen Sorte von Ecken treffen sich sechs Rauten jeweils mit ihrem kleinen Winkel. Also beträgt dieser Winkel 60°.

Damit könnten wir die einzelnen Rauten konstruieren und zu dem

Muster zusammensetzen. Wie groß dieses Muster wird, ist nicht vorherbestimmt. Es kommt darauf an, wie viele Teile zur Verfügung stehen. Prinzipiell kann man es beliebig groß machen, ja man kann sich vorstellen, dass man auf diese Weise die ganze Ebene überdecken kann. ...

 

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Magische Quadrate

Magische Quadrate haben uralte Wurzeln. Nach einer chinesischen

Legende tauchte eines Tages aus dem Meer eine Schildkröte auf, die auf ihrem Panzer seltsame Zeichen trug. Die Schildkröte hieß Lo-Shu. Gelehrte am Hof des Kaisers entschlüsselten die Zeichen und stellten sie mit Hilfe von Knotenschnüren dar. Es handelt sich dabei um ein Zahlenschema aus drei Zeilen und drei Spalten. Für die ungeraden Zahlen wurden weiße Punkte (Yang), für die geraden Zahlen schwarze Punkte (Yin) verwendet. ...

 

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